Teorema: per ogni insieme A e per ogni $f, g \in A^A$, se f, g sono funzioni suriettive, allora anche h(x) = f(g(x)) lo è.

Sia A un insieme e $f,g \in A^A$ t.c. f è suriettiva, ovvero $\forall x \in A, \exist x' \in A, f(x') = x$ (Hf) e g è suriettiva, ovvero $\forall y \in A, \exist y' \in A, g(y') = y$ (Hg).

Dobbiamo dimostrare che h è suriettiva, ovvero $\forall k \in A, \exist k' \in A, f(g(k')) = k$.

Siano $k, w\in A$ t.c. $f(w) = k$ (K).

Per Hg $\exist y'$ t.c. $f(g(y')) = k$. Scelgo $k'$.

Quindi $f(g(k')) = k$.

Cvd.

sia $c(x) = \{Y \in U | (Y \notin X)\}$

Teorema: se $X \sube Y$ allora $X \cap c(Y) = \empty$

Siano X, Y e U t.c. $X \sube Y$, ovvero $\forall Z. Z \in X \implies Z \in Y$ (H) e

sia $c(Y)$ il complementare di $Y$ rispetto ad $U$.

Dobbiamo dimostrare che $X \cap c(Y) = \empty$, ovvero $\forall Z. Z \in X \cap c(Y) \iff Z \in \empty$.

Dimostro il caso $Z \in X \cap c(Y) \implies Z \in \empty$.

Sia Z un insieme t.c. $Z \in X \cap c(Y)$ (K).

Quindi per l'assioma dell'intersezione binaria abbiamo $Z \in X$ (K1) e $Z \in c(Y)$ (K2).

Dobbiamo dimostrare che $Z \in \empty$. Assurdo per l'assioma dell'insieme vuoto e K1, K2.

Dimostro il caso $Z \in \empty \implies Z \in X \cap c(Y)$.

Sia Z un insieme t.c. $Z \in \empty$ (K).

Dobbiamo dimostrare che $Z \in X \cap c(Y)$. Assurdo per K.