Norma di vettore

La norma è una applicazione (funzione) $\R^n\rarr\R_+$, indicata di solito con $||x||$, che verifica le seguenti condizioni:

$||x|| ≥ 0, \space\forall x\in\R^n$
$||x|| = 0 \iff x=0$
$||\alpha x|| = |\alpha|\cdot ||x||, \forall x\in\R^n,\alpha\in\R$
$\forall x,y\in\R^n$ vale la disuguaglianza triangolare: $||x+y|| ≤ ||x||+||y||$

Il numero $||x-y||$ definisce la distanza tra i punti $x$ e $y$.

Norma $p$

La norma che ci interessa maggiormente è la norma $p$, definita come segue:

$||x||{\infty} = (\sum{i=1}^n|x_i|^p)^{1/p}$

Ovvero è la radice di grado $p$ della somma dei componenti del vettore $x$ elevati alla $p$.

Questa norma la abbiamo già vista in Analisi 1 di solito in questa forma:

$||v|| = \sqrt{v_1^2 + v_2^2}$

Che è la norma 2 o norma euclidea.

Similmente la norma 1 (o norma di Manhattan) è:

$||x|| = |x|$

E così via per le norme superiori.

Disuguaglianza di Minkowski

Mentre per la norma 1 e la norma $\infty$ le proprietà della definizione sono sempre verificate, per le altre norme occorre verificare la proprietà triangolare, che diventa:

$(\sum_{i=1}^n|x_i+y_i|^p)^{1/p} ≤ (\sum_{i=1}^n|x_i|^p)^{1/p} + (\sum_{i=1}^n|y_i|^p)^{1/p}$

Norma di Matrice

Come abbiamo visto in Algebra e Geometria, una matrice di ordine $n$ può essere vista come un vettore di uno spazio di dimensione $n^2$.

Possiamo quindi definire la norma di matrice con la stessa definizione usata prima. Conviene però restringere la definizione, aggiungendo una quinta condizione:

$||AB||≤||A||\cdot||B||$

Attenzione: non tutte le matrici soddisfano questa condizione!

Quindi una norma di matrice è una applicazione $\R^{n\times m}\rarr\R_+$ che soddisfa le precedenti 4 condizioni più la condizione 5 appena aggiunta.

Un modo per definire una norma di matrice è il seguente: